Геннадий Еремин. Дискретная математика (Discrete Math) 

avatar

Посетителям сайта предлагаются работы автора в области дискретной математики. Материал оригинальный, иссле­дования прово­дились по нескольким направ­лениям.

Во-первых, было интересно факторизовать (разложить на простые делители) число Каталана и его, можно сказать, "брата-близнеца" – центральный биноми­альный коэффициент. Факто­ризуют многие специ­альные числа, числа Каталана также интересны современным матема­тикам.

В каноническом разложении числа Каталана простые нечетные делители распределяются по слоям Лежандра. В каждом слое делители группируются в сегменты Чебышева. Если в разложении удалить наиболее многочисленный первый слой, то получим легкое число Каталана. Такие числа образуют последовательность A246466 в OEIS.

Другое направление связано с исследованием лексикографических (нечисловых) рядов. Предла­гаются формальные признаки таких рядов. В качестве примеров рассмат­риваются скобочные последо­вательности, состоящие из слов Дика (ряд Дика) и усеченных слов Моцкина (ряд Моцкина).

Анализ динамики правильных скобочных последовательностей позволил получить четырех­мерный треугольник Дика, который является обобщением известных двумерных конструкций.

Последние статьи рассматривают некоторые вопросы теории чисел. С помощью формулы Лежандра проведен анализ p-адической оценки натурального числа, а также получено приращение оценки. Рассчитана оценка нечетного факториала. Рассматриваются взаимосвязи между p-адической оценкой и p-адическим весом. Описаны операции, определенные на приращениях оценки и веса.

На этом сайте многие работы сопровождаются программным сервисом для проверки тех или иных результатов. Отдельные программы позволяют читателю не только выполнять контрольные расчеты, но и проводить самосто­ятельные исследования рассмат­риваемых задач. Программы составлены автором. Постараюсь всем заинтере­сованным дать развернутые ответы, мой e-mail argenns@gmail.com. Использование материалов сайта категорически приветствуется.

Факторизация чисел и p-адический анализ (Prime Factorization and p-adic analysis)

2019. Легкие числа Каталана, теорема Куммера и последовательность A246466. В работе модифицируется известная теорема Куммера для чисел Каталана. В каноническом разложении простые делители числа Каталана распределяются по слоям Лежандра. Если в разложении удалить многочисленный первый слой, то получим легкое число Каталана. Такие числа образуют последовательность A246466 в OEIS. В статью включен программный сервис, работающий в режиме on-line.

2019. Формула Лежандра и p-адический анализ. Формула Лежандра хорошо известна в p-адическом анализе, поскольку позволяет получить p-адическую оценку многих комбинаторных объектов, включая факториалы, биномиальные коэффициенты, числа Каталана. В статье показаны взаимосвязи между p-адической оценкой и p-адическим весом, рассматриваются их приращения.

2019. Формула Лежандра. Описан простой арифметический вывод классической (альтернативной) формулы Лежандра.

2019. Legendre’s formula and the p-adic analysis. Legendre's formula calculates the p-adic valuation of n! as the sum of partial quotients. Another alternative formula uses the p-adic weight of n, i.e. the sum of digits of n in base a prime p. Both kinds of Legendre’s formula allow us to determine valuations of the natural number, the odd factorial, Catalan numbers, and other combinatorial objects. The article examines the relationship between the p-adic valuation and weight and considers their increments.

2019. Legendre's formula. A simple arithmetic proof of classical (alternative) Legendre's formula is described.

2016. Разложение числа Каталана на сегменты Чебышева. Предлагается "нарезка" простых множителей числа Каталана на сегменты Чебышева. Простые числа сегментов автоматически включаются в разложение числа Каталана.

2016. Factoring a Catalan Number into Chebyshev’s Segments. This paper describes the "cutting" of the Catalan number decomposition in Chebyshev’s segments.

2016. Multilayer Factorization of Catalan Numbers (see also studyres.com). Odd prime factors are distributed in layers. In each layer the noncrossing segments contain only non-repeated primes.

2016. Интервальная факторизация числа Каталана Рассматривается распределение делителей числа Каталана по слоям. Каждый слой состоит из уникальных делителей, которые выбираются из непересекающихся интервалов простых чисел.

2016. Interval Factorization of Middle Binomial Coefficients. Prime factors and prime powers are distributed in layers. Each layer consists of non-repeated prime numbers which are chosen (not calculated!) from the noncrossing prime intervals.

2016. Интервальная факторизация центрального биномиального коэффициента. Рассматривается распределение по слоям простых делителей центрального биномиального коэффициента. Каждый слой состоит из некратных делителей, которые выбираются (не рассчитываются!) из непересекающихся интервалов ряда простых чисел.

2015. Факторизация чисел Каталана. Для числа Каталана подавляющая часть простых делителей (до 99,9%) выбирается из фиксированных интервалов натурального ряда. В этой работе читатель может факторизовать произвольное число Каталана по его индексу.

Лексикографические последовательности (Lexicographic Sequences)

2017. Dynamics of Balanced Parentheses, I. Dyck Squares. The article deals with a strict lexicographic order on the set of balanced parentheses. A strict order generates procedures for identification, indexing, and reconstruction of balanced parentheses. On-line software service is offered to calculate or check some results.

2015. Правильные скобочные последовательности и полиномы Дика. Скобочные наборы выстроены в ряд Дика, структурированный аналогично натуральному ряду. Рассмотрены процедуры идентификации элементов ряда. Описаны полиномы Дика и полиномиальная матрица как эквивалент треугольника Дика.

2014. Motzkin Word Row. We consider the lexicographic sequence of truncated Motzkin words. The navigation procedures for the series are described. On-line software service is offered.

2014. От слов Моцкина к скобочному ряду. Рассматривается лексикографическая последовательностьи слов Моцкина без лидирующих нулей. Описаны процедуры навигации по ряду. Читателю прeдлагается on-line программый сервис.

Четырехмерная решетка Каталана (Four-dimensional Catalan's lattice)

2018. 4D Catalan’s Lattice. We consider a four-dimensional integer lattice, the projections of which are well-known Catalan objects.

2018. Четырехмерная решетка Каталана. Рассматривается четырехмерная целочисленная решетка, проекции которой представляют собой хорошо известные объекты Каталана.

2018. Треугольник Дика в четырехмерном пространстве. Рассматривается связка координатных переменных для путей Дика. В четырехмерном пространстве строится треугольник Дика.

2018. Dyck Triangle in 4D Space. In analyzing balanced parentheses, we consider a group of related variables in Dyck paths. In the 4D space, the Dyck triangle is constructed – an integer lattice with Dyck paths.

2017. Dynamics of Balanced Parentheses, II. 4D Dyck Triangle and Its Projections. The paper shows that the classic Dyck triangle, the Catalan triangle, and the Catalan convolution matrix are 2D projections of some 4D lattice.


РАБОТЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ (Works of bygone years)

1976. Компоновка пакетов прикладных программ. // Программирование. — 1976. — № 2. — С. 71–76. Рассматривается задача компоновки системы программных модулей (пакетов прикладных программ). Задача сведена к выделению вложенных и независимых связных областей в системе ориентированных графов. Разработаны соответствующие алгоритмы.

1986. Мониторная система для пакетной обработки заданий в ОС ЕС. // Программирование. — 1986. — № 6. — С. 48–56. Описан ППП МОНИТОР, обеспечивающий выполнение отдельного задания или их цепочек, оперативную корректировку текстов операторов языка управления заданиями. В системе предусмотрены средства для автоматической привязки (адаптации) внедряемых программных средств к условиям функционирования эксплуатируемых задач.

1987. Разбиение произвольного множества вершин бесконтурного opграфа на выпуклые подмножества. // Автоматика и телемеханика. — 1987. — № 8. — С. 137–143. Решается задача разбиения вершин ориентированного графа на выпуклые подмножества, которая встречается при проектировании системы задач. Исследуются "вогнутые" множества вершин орграфа, приведены алгоритмы.

1988. Язык технологических схем. // Программирование. — 1988. — № 1. — С. 19–25. В статье рассматривается технологический язык высокого уровня для пакетной обработки заданий в ОС ЕС. Транслятор языка схем составлен на ПЛ/1 и работает в ОС ЕС версии не ниже 6.1 (режимы MVT и SVS).

1989. Алгоритм разбиения невыпуклого множества вершин орграфа. // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. — С. 187–190. Исследуются эквивалентные преобразования бесконтурного графа, упрощающие разбиение невыпуклого множества вершин на выпуклые подмножества. Описан алгоритм минимизации разреза графа.

1989. Об одном вершинном разбиении на ориентированных графах (соавтор Цурков В. И.). Моделирование и экспертные системы, Межвуз. сб. науч. тр. МИРЭА Москва, с. 56-63.

1990. Алгоритм перебора групп элементов. // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1990. — № 4. — С. 221–223.





www.000webhost.com